Einführung

Geraden und Kurven

Vokabular

Passante

Kein Berührpunkt

Tangente

Ein Berührpunkt

Sekante

2 oder mehr Berührpunkte

Steigung der Tangente nennt man lokale Änderungsrate

Steigung der Sekante ist eine mittlere Änderungsrate

Ableiten und differenzieren ist das Gleiche!

Grenzwert des Differenzenquotienten

Steigung m berechnet sich aus:

(1)   \begin{align*} m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \end{align*}

Diese Gleichung, bestehend aus 2 Differenzen und einem Quotienten daraus nennt man Differenzenquotient. Diese Gleichung berechnet die Steigung der Sekante von durch A und B.

H-Methode

b kann ausgedrückt als a + h.

(2)   \begin{align*} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{a+h - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{align*}

Grenzwert

(3)   \begin{align*} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{align*}

Beispiel Steigung einer Parabel

Gegeben ist die Normalparabel und wir möchten die Steigung an der Stelle x = 3 bestimmen.

(4)   \begin{align*} f(x) &= x^2 \\f(3) &= 3^2 = 9 \end{align*}

Wenden wir den Grenzwert des Differentenquotienten an:

(5)   \begin{align*} m &= \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \\ &= \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \\ \nonumber \\&= \frac{2xh + h^2}{h} \\ \nonumber \\&= \frac{h \cdot(2x + h)}{h} \\ \nonumber \\&= 2x + h \\ \nonumber \\& \lim_{h\rightarrow 0} 2x + h  \\ \nonumber \\&= 2x\end{align*}

Was haben wir getan?

Wir haben die Funktionsgleichung x^2 in den Differentenquotienten eingesetzt und erhalten die Steigung der Tangenten an der Stelle x.

Damit erhalten wir die Ableitung von f(x). Die Ableitung von f(x) heißt f'(x).

Die Ableitung von x^2 ist also 2x.

Ableitung von ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades

(6)   \begin{align*} f(x) &= ax^5 + bx^4 + cx^3 + d x^2 + ex + g \\ f'(x) &= 5 ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 + 2dx + e \\ f''(x) &= 20ax^3 + 12bx^2 + 6cx + 2d \\ f'''(x) &= 60ax^2 + 24bx + 6c \\ f''''(x) &= 120ax + 24b \\ f'''''(x) &= 120a \\ f''''''(x) &= 0 \end{align*}

Grafisches Ableiten

Wichtig ist: Extrema, also Hoch- und Tiefpunkte haben eine Steigung von 0.

Die Ableitung an dieser Stelle ist also 0.

Extrema bedeuten immer ein Vorzeichenwechsel in der Ableitung.

Sattelpunkte haben ebenfalls eine Steigung von 0.

Ich habe aber keinen Vorzeichenwechsel! Ich berühre die 0. Die Ableitung berührt zwar die 0, geht aber nicht hindurch, sondern dreht wieder um.

Schnittpunkte

Schnittpunkte von Funktionen erhalte ich durch gleichsetzen! Das Funktioniert mit 2 Geradengleichungen oder auch mit einer Geraden und einer Funktion.

(7)   \begin{align*} f(x) &= x^2 \\ g(x) &= x + 6 \end{align*}

Schnittpunkt wird durch gleichsetzen ermittelt:

(8)   \begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^2 &= x + 6 \indent | -x-6 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \end{align*}

PQ-Formel:

(9)   \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \\ x^2 + px + q &= 0  \end{align*}

p = -1 und q = -6

(10)   \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2+6} \\ x_{1,2} &= \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4})+6} \\ x_1 &= 0,5 + \sqrt{6,25} = 0,5 + 2,5 = 3 \\ x_2 &= 0,5 - \sqrt{6,25} = 0,5 - 2,5 = -2 \end{align*}

Schnittpunkte erhalte ich durch Einsetzen der beiden Werte in f(x) oder g(x).

P_1(3,9); P_2(-2,4)

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